此(ci)問題(ti)中，其實絕對光滑不太合(he)適，一般可以考慮原子級別的光滑就已(yi)經(jing)可以使用（或可以看做沒有(you)接(jie)觸角滯后(hou)現象）。為了讓解(jie)析式簡(jian)便，此(ci)題(ti)轉化為：

如(ru)果(guo)將體(ti)積為V的液(ye)體(ti)水滴落到原(yuan)子級別光(guang)滑的光(guang)滑固體(ti)表面上，設(she)固體(ti)表面對水的接觸(chu)角為θ，那么液(ye)滴穩定后，液(ye)滴與(yu)固體(ti)之間(jian)的接觸(chu)面積S有(you)多大(da)？

下面(mian)我僅僅使用參(can)數(shu)V和(he)θ，以及(ji)水(shui)的物性常數(shu)找出S的簡單解析式。

首(shou)先，此(ci)(ci)題必須分為兩種(zhong)情形。第(di)一種(zhong)，是(shi)液體V很小時，此(ci)(ci)時表(biao)面張力占主導(dao)地位。此(ci)(ci)解(jie)法宮非(fei)前輩已經給出，但是(shi)其解(jie)析式不夠簡化。因此(ci)(ci)我進一步(bu)加以簡化。當(dang)表(biao)面張力占主導(dao)時，液滴成完美的球缺狀，如圖1所示。

圖1液體(ti)體(ti)積很小(xiao)時(shi)，毛細作用力占主(zhu)導的情(qing)形，液滴呈(cheng)球形

 此時(shi)根據球的體積公式，以及(ji)簡(jian)單的三角(jiao)函(han)數(shu)變(bian)換，就(jiu)可(ke)以得出S與V和θ的關系，具體推導過程如圖2所示。

圖2接觸面積S的(de)推導(dao)過程

 此(ci)時(shi)可以看(kan)出，S與(yu)V的2/3次方是(shi)正比例關(guan)系(xi)(xi)。對于(yu)自(zi)然界(jie)任何光滑的表面(mian)，接觸角處于(yu)0到122°的范圍內，可以繪(hui)出S與(yu)θ的關(guan)系(xi)(xi)，如圖3所(suo)示。

圖3接觸(chu)面積隨著接觸(chu)角的(de)變化關系

上圖是接觸角從5°到120°范圍內的接觸面(mian)積的變(bian)化關系，基本上涵蓋了自然界中的大多(duo)數物質的光滑固體表面(mian)。

然后再是第二(er)種情形，就是液體(ti)體(ti)積很(hen)大，此時表面(mian)張力很(hen)弱(ruo)，重力占主導地位(wei)的場景。此時，液滴在光(guang)滑固體(ti)表面(mian)的呈(cheng)現出扁平(ping)狀。如圖(tu)4所示。

圖4液體(ti)(ti)體(ti)(ti)積很(hen)大的(de)情形

有意思的(de)(de)(de)(de)是，已(yi)經有前人對這種情(qing)形做(zuo)過(guo)詳細的(de)(de)(de)(de)受力(li)分析。得出只要接觸角一定，此時(shi)無論加多少水，液體的(de)(de)(de)(de)厚(hou)度(du)e都(dou)不會增(zeng)加，只會增(zeng)加鋪展(zhan)的(de)(de)(de)(de)面積。其厚(hou)度(du)e的(de)(de)(de)(de)表達(da)式為：

式(shi)中，γ為表面張力，p為密度，g為重力加速(su)度。

由于此(ci)時，表面張力影響很小，液膜可以看成均勻的厚度，所以滿足(zu)

V=Se

從而可以推出：

圖(tu)5液體接觸面積的推導公式。

至(zhi)于具(ju)體的推導(dao)e的過(guo)程，可以(yi)見如下分析：

參考文(wen)獻：Capillarity and Wetting Phenomena書籍。